三角形のタイル張り

　三角形をタイルの様に張っていくとどうなるのか見ていきましょう。ついでに、正多面体についても話します。

　三角形の内角の和がπ(180°)でないものも考えています。例えば、内角の和がπを超える場合は三角形が膨らんで、平面上ではなく球面上に配置されます。図の最後は例として(2,3,7)のタイル張りを載せています。(2,2,∞)のタイル張りは三角形に見えないかもしれませんが、ひとつの角度を０に近づけた三角形の極限として一応載せているだけなので、もやもやする人は無視してもいいです。

　球面幾何と双曲幾何では、三角形の内角の和が面積に関係しています。せっかく球面上の三角形のタイル張りについて話したので、ついでに正多面体についても話します。

　正多面体の展開図を載せておきます。印刷して切り抜いて折れば、実際に正多面体を作ることもできます。

　球面上の三角形のタイル張りと正多面体との対応をつけると、正多面体の双対性が分かりやすいと思い、その２つを絡めて話しました。

　今回は三角形のタイル張りについて話しました。球面幾何と双曲幾何では三角形の内角の和が面積に関係していたり、球面上の三角形のタイル張りが正多面体と関係していたり、視覚的に数学を楽しめる内容だったので、初めて学んだときは結構感動したのを覚えています。