積分

　xの関数fのグラフに対して、0からxまでの範囲の面積を考えます。fがぐにゃぐにゃしている時は面積を求めるのが大変です。そんな時はx軸方向にグラフを思いっきり引き伸ばしてみましょう。面積はとてつもなく横長になりますが、それだけではなく、部分的に見ればグラフが平らに見えます。つまり、部分的には、縦がf、横がdxの長方形になります。後は、この長方形を0からxまで足し合わせれば良く、ここではその記号として∫を使っています。このように面積を求めることを積分と言います。

　確かに長方形なら面積を簡単に求められますが、その面積を無限に足し合わせるとなると難しく思えます。ここで、df/dxを積分してみましょう。dxが約分できるので、dfを0からxまで積分すればいいことになります。つまり、縦が1、横がdfの長方形を足し合わせればいいのですが、縦が1のままなので、足し合わせなくても長方形一つの面積を求めればそれで済みます。結果的に横がf(x)ーf(0)、縦が1の長方形の面積が求める面積です。そして、この面積f(x)ーf(0)を微分すれば積分する前の関数df/dxに戻ります。つまり、積分は微分の逆演算で、積分と言いつつも結局やっているのは微分です。ちなみに、なぜ横軸をfにとるときれいな一つの長方形になるのかというと、実は縦軸方向のグラフの上下を、横軸の進み具合に変えているのです。つまり、xを変えていくと、面積が増えるほどfがどんどん進み、面積が減るとfが後戻りするのです。これが、高さが1で変わらないのに面積を求められる理由です。

　試しにf(x)＝xのグラフの0からxまでの面積を求めてみましょう。xの２乗は微分すると2xになるので、その半分がxになります。dxを約分して面積を求めると、xの２乗の半分になります。この面積は、正方形を斜めに半分にした形なので、正方形の面積の半分、つまりxの２乗の半分になるので、確かに計算が合います。この例では三角形の面積を求めただけですが、微分する前の関数さえ分かれば色んなグラフの面積を求めることができます。

　今回は微分の逆演算である積分について見ました。微分ができると傾きを求められるだけじゃなく、面積まで求められます。このことを知った私は、微分ってとんでもない武器だな、と思いました。