双曲線関数

　xの偶数乗を合わせた関数は偶関数、xの奇数乗を合わせた関数は奇関数と言います。マイナス掛けるマイナスはプラスなので、偶関数はxをーxに換えても同じ値になり、逆に奇関数はxをーxに換えると値がマイナスになります。どういうことか見てみましょう。

　eのx乗は微分しても変わらない関数で、xのn乗は微分すると肩の数が下りてきて肩の数が一個減ります。これらを満たすように、eのx乗をxのn乗の足し合わせで表現してみます。n!は1からnまでの掛け算です。例えば、3!＝3×2×1＝6です。すると、1＋x＋…は微分しても変わりません。ひとつひとつ見てみましょう。

1はxの0乗なので微分して肩の数字が下りて0です。

xはxの１乗なので微分して1です。

xの２乗の微分は2xですが、ここではそれを２で割ってあるのでxが出てきます。

という風に、微分するとベルトコンベアーのようにxのn乗が左にずれてきます。それが無限に続いているから微分しても変わらない訳です。また、eの0乗は1なので、xに0を入れても式は成り立ちます。

　この式を信じて、eのx乗を偶関数(coshx)と奇関数(sinhx)に分けてみると、確かに、

cosh(ーx)＝coshx

sinh(ーx)＝ーsinhx

と、偶関数と奇関数になっていることがわかります。

　eのx乗をcoshx＋sinhxと分けて表すことができました。ここで、eのーx乗を考えると、sinhxの方にだけマイナスが付きます。これらの式から、coshxとsinhxをeのx乗とeのーx乗で表すことができます。xとーxを入れ替えると、確かにcoshxはそのままで、sinhxにマイナスがつくのが分かります。

　では、eのx乗とeのーx乗を掛けてみましょう。eをx回掛けて、それをx回割ることになるので、これは1になります。そして、これをcoshxとsinhxで計算すると、２乗引く２乗が1と等しい、という式が出てきます。この式で、coshxが1の時にsinhxは0、coshxが2の時にsinhxはルート3(1.732…)、という風に計算してcoshxとsinhxを軸にグラフを書くと、双曲線という曲線になります。双曲線の例としては、y＝1/xのような曲線があります。