量子力学について８枚のスライドでまとめてみたら

　時空について記述するのが相対性理論ですが、その時空上で物や力がどう記述できるかというのが量子力学です。まずは、物や力がどのような状態にいるかを説明する際に必要な、ベクトルについてお話したいと思います。

　次に、状態についてお話します。１次元の状態というのは、状態が1個しかないので、状態の重ね合わせというものを考えることができませんが、2次元なら、2個の状態の重ね合わせで記述することができます。この状態の重ね合わせというのが、量子力学の重要な概念です。例えば、電子のスピン(自転のようなもの)が右回りの状態と、左回りの状態を半分ずつ重ね合わせた状態だとすると、スピンの向きを測定した時、半々で右回りか左回りだと測定されます。ただし、仮に右回りだと測定された場合、１度測定されると状態が確定するので、続けて測定しても右回りのままです。

　量子力学が前提としているのが交換関係です。位置xと運動量pの交換子[x,p]＝xp-pxが虚数として残ると、その分だけ物がぼやけて、大きさを獲得します。この時、運動量は位置の微分で書けるので、空間的な変化を表していることが分かります。同様に、エネルギーEは時間的な変化を表していることが分かります。

　エネルギーは時間変化を表しているので、これと対応する運動量と位置の関数を導入すると、時間的な変化と空間的な変化を関係付けることができ、これをシュレーディンガー方程式と言います。

　ネーターの定理によると、並進対称性があれば運動量が保存するし、時間発展対称性があればエネルギーが保存することが分かります。ここで、並進は移動、時間発展は時間の経過の意味で使っています。先ほどの逆を言うと、どこかで運動量が変われば、そこで変なことが起こっているし、ある時点でエネルギーが変われば、その時変なことが起こっているということで、そういうことを対称性が破れていると表現しています。

　状態を位置の関数として表すこともできますが、運動量の関数として表すこともできます。この変換をフーリエ変換と言います。ところどころで係数として出てくる２πを導出するためには、フーリエ級数展開というものを導入して、級数展開の範囲として無限大の極限をとる必要があります。