行列について８枚のスライドでまとめてみたら

　行列は、ベクトルをベクトルに写します。ベクトルは、いわゆる矢印です。無限次元のベクトルや行列を考えると、実は微積分もこの枠組みに入ってきます。ただし、とりあえずここでは有限次元の実ベクトルや実行列を対象に話をします。つまり、実数の中で話をします。

　ベクトルの掛け算には、ドット積やクロス積があります。ドット積は平行な部分の掛け算、クロス積は垂直な部分の掛け算です。

　行列の性質を表す量として、トレースや行列式(determinant)があります。行列式は、行の各成分(横ベクトルの各成分)でばらして、ひとつ次数の小さな行列式に展開することができます。この際、展開する時の符号(プラスとマイナス)は交互になります。この行列式は、行列の中に並ぶベクトルの張る立体の符号付き体積になります。例えば、二次の行列式は平行四辺形の符号付き面積、三次の行列式は平行六面体の符号付き体積になります。

　行列の性質をできる限り知りたい場合は、固有値・固有ベクトルを調べると良いです。固有値が分かれば、固有値を全て足したものがトレースで、固有値を全て掛けたものが行列式です。

　行列の横と縦、つまり行と列を入れ替えたものを転置と言います。

　転置すると逆行列になる行列を直交行列と言います。直交行列は、回転や反転を表します。